ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
В современном цифровом мире вероятность и статистика приобретают всѐ большую значимость, как с точки зрения
практических приложений, так и их роли в образовании, необходимом каждому человеку. Возрастает число профессий,
при овладении которыми требуется хорошая базовая подготовка в области вероятности и статистики, такая подготовка
важна для продолжения образования и для успешной профессиональной карьеры.
Каждый человек постоянно принимает решения на основе имеющихся у него данных. А для обоснованного
принятия решения в условиях недостатка или избытка информации необходимо в том числе хорошо сформированное
вероятностное и статистическое мышление.
Именно поэтому остро встала необходимость сформировать у обучающихся функциональную грамотность,
включающую в себя в качестве неотъемлемой составляющей умение воспринимать и критически анализировать
информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных процессов и
зависимостей, производить простейшие вероятностные расчѐты.
Знакомство в учебном курсе с основными принципами сбора, анализа и представления данных из различных сфер
жизни общества и государства приобщает обучающихся к общественным интересам. Изучение основ комбинаторики
развивает навыки организации перебора и подсчѐта числа вариантов, в том числе в прикладных задачах. Знакомство с
основами теории графов создаѐт математический фундамент для формирования компетенций в области информатики и
цифровых технологий. При изучении статистики и вероятности обогащаются представления обучающихся о современной
картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой
информации и закладываются основы вероятностного мышления.
В соответствии с данными целями в структуре программы учебного курса «Вероятность и статистика» основного
общего образования выделены следующие содержательно-методические линии: «Представление данных и описательная
статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики», «Введение в теорию графов».
Содержание линии «Представление данных и описательная статистика» служит основой для формирования навыков
работы с информацией: от чтения и интерпретации информации, представленной в таблицах, на диаграммах и графиках, до
сбора, представления и анализа данных с использованием статистических характеристик средних и рассеивания. Работая с
данными, обучающиеся учатся считывать и интерпретировать данные, выдвигать, аргументировать и критиковать
простейшие гипотезы, размышлять над факторами, вызывающими изменчивость, и оценивать их влияние на
рассматриваемые величины и процессы.
Интуитивное представление о случайной изменчивости, исследование закономерностей и тенденций становится
мотивирующей основой для изучения теории вероятностей. Большое значение имеют практические задания, в частности
опыты с классическими вероятностными моделями.
Понятие вероятности вводится как мера правдоподобия случайного события. При изучении учебного курса
обучающиеся знакомятся с простейшими методами вычисления вероятностей в случайных экспериментах с
равновозможными элементарными исходами, вероятностными законами, позволяющими ставить и решать более сложные
задачи. В учебный курс входят начальные представления о случайных величинах и их числовых характеристиках.
В рамках учебного курса осуществляется знакомство обучающихся с множествами и основными операциями над
множествами, рассматриваются примеры применения для решения задач, а также использования в других математических
курсах и учебных предметах.
В 7–9 классах изучается учебный курс «Вероятность и статистика», в который входят разделы: «Представление
данных и описательная статистика», «Вероятность», «Элементы комбинаторики», «Введение в теорию графов».
На изучение учебного курса «Вероятность и статистика» отводится 68 часов: в 8 классе – 34 часа (1 час в неделю), в
9 классе – 34 часа (1 час в неделю).

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
8 КЛАСС
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение таблиц, чтение и построение диаграмм
(столбиковых (столбчатых) и круговых). Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и
таблиц, использование и интерпретация данных.
Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и наименьшее значения набора
числовых данных. Примеры случайной изменчивости.
Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие. Вероятность и частота. Роль маловероятных и практически
достоверных событий в природе и в обществе. Монета и игральная кость в теории вероятностей.
Граф, вершина, ребро. Степень вершины. Число рѐбер и суммарная степень вершин. Представление о связности
графа. Цепи и циклы. Пути в графах. Обход графа (эйлеров путь). Представление об ориентированном графе. Решение
задач с помощью графов.
Множество, элемент множества, подмножество. Операции над множествами: объединение, пересечение,
дополнение. Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
Использование графического представления множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач.
9 КЛАСС
Измерение рассеивания данных. Дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов. Диаграмма рассеивания.
Элементарные события случайного опыта. Случайные события. Вероятности событий. Опыты с равновозможными
элементарными событиями. Случайный выбор. Связь между маловероятными и практически достоверными событиями в
природе, обществе и науке.
Дерево. Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей вершины, связь между числом вершин и
числом рѐбер. Правило умножения. Решение задач с помощью графов.
Противоположные события. Диаграмма Эйлера. Объединение и пересечение событий. Несовместные события.
Формула сложения вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые события. Представление
эксперимента в виде дерева. Решение задач на нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента,
диаграмм Эйлера.
Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация данных. Чтение и построение таблиц,
диаграмм, графиков по реальным данным. (в курсе учебного предмета «Алгебра», 8 класс)
Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Треугольник Паскаля. Решение задач с использованием
комбинаторики. (в курсе учебного предмета «Алгебра», 9 класс)
Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха. Серия испытаний Бернулли. Вероятности
событий в серии испытаний Бернулли.
Случайная величина и распределение вероятностей. Математическое ожидание и дисперсия. Примеры
математического ожидания как теоретического среднего значения величины. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот. Роль и значение закона больших
чисел в природе и обществе.

ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОГО КУРСА «ВЕРОЯТНОСТЬ И
СТАТИСТИКА» НА УРОВНЕ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Личностные результаты освоения программы учебного курса «Вероятность и статистика» характеризуются:
1) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики, ценностным отношением к достижениям
российских математиков и российской математической школы, к использованию этих достижений в других науках и
прикладных сферах;
2) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав, представлением о математических
основах функционирования различных структур, явлений, процедур гражданского общества (например, выборы, опросы),
готовностью к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений науки, осознанием
важности морально-этических принципов в деятельности учѐного;
3) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач математической направленности, осознанием
важности математического образования на протяжении всей жизни для успешной профессиональной деятельности и
развитием необходимых умений, осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и
жизненных планов с учѐтом личных интересов и общественных потребностей;
4) эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию математических объектов, задач, решений,
рассуждений, умению видеть математические закономерности в искусстве;
5) ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об основных закономерностях
развития человека, природы и общества, пониманием математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов
еѐ развития и значимости для развития цивилизации, овладением языком математики и математической культурой как
средством познания мира, овладением простейшими навыками исследовательской деятельности;
6) физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения здорового образа жизни
(здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность), сформированностью
навыка рефлексии, признанием своего права на ошибку и такого же права другого человека;
7) экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в области сохранности окружающей среды,
планирования поступков и оценки их возможных последствий для окружающей среды, осознанием глобального характера
экологических проблем и путей их решения;
8) адаптация к изменяющимся условиям социальной и природной среды:
готовностью к действиям в условиях неопределѐнности, повышению уровня своей компетентности через
практическую деятельность, в том числе умение учиться у других людей, приобретать в совместной деятельности новые
знания, навыки и компетенции из опыта других;
необходимостью в формировании новых знаний, в том числе формулировать идеи, понятия, гипотезы об объектах и
явлениях, в том числе ранее неизвестных, осознавать дефициты собственных знаний и компетентностей, планировать своѐ
развитие;
способностью осознавать стрессовую ситуацию, воспринимать стрессовую ситуацию как вызов, требующий
контрмер, корректировать принимаемые решения и действия, формулировать и оценивать риски и последствия,
формировать опыт.

МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:







выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий, отношений между
понятиями, формулировать определения понятий, устанавливать существенный признак классификации,
основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные,
частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных, наблюдениях и
утверждениях, предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по
аналогии;
разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного), проводить самостоятельно
несложные доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры, обосновывать собственные рассуждения;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать наиболее
подходящий с учѐтом самостоятельно выделенных критериев).

Базовые исследовательские действия:





использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы, фиксирующие
противоречие, проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить по самостоятельно составленному плану несложный эксперимент, небольшое исследование по
установлению особенностей математического объекта, зависимостей объектов между собой;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведѐнного наблюдения, исследования,
оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в новых
условиях.

Работа с информацией:





выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи;
выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм
представления;
выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной
графикой и их комбинациями;
оценивать надѐжность информации по критериям, предложенным учителем или сформулированным
самостоятельно.

Коммуникативные универсальные учебные действия:







воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно, точно, грамотно
выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи,
комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой задачи, высказывать
идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои суждения с суждениями других участников диалога,
обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно выбирать формат
выступления с учѐтом задач презентации и особенностей аудитории;
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении учебных
математических задач;
принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной работы, распределять виды
работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями, мозговые штурмы и другие), выполнять
свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды, оценивать качество своего
вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками взаимодействия.

Регулятивные универсальные учебные действия

Самоорганизация:


самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ решения с учѐтом
имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с
учѐтом новой информации.

Самоконтроль, эмоциональный интеллект:




владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в деятельность на
основе новых обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата деятельности поставленной цели и условиям, объяснять причины достижения
или недостижения цели, находить ошибку, давать оценку приобретѐнному опыту.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, представлять данные в виде таблиц, строить
диаграммы (столбиковые (столбчатые) и круговые) по массивам значений.
Описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее
и наименьшее значения, размах.
Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен, физических величин, антропометрических
данных,
иметь
представление
о
статистической
устойчивости.
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять
данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия
и стандартное отклонение).
Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах
с равновозможными элементарными событиями.
Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять операции над множествами: объединение,
пересечение, дополнение, перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.
Использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания процессов и явлений, в том
числе
при
решении
задач
из
других
учебных
предметов
и
курсов.
Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в виде таблиц, диаграмм,
графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов.
Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры
рассеивания.
Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведѐнных измерений и
наблюдений.
Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными
элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей.
Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости и о роли
закона больших чисел в природе и обществе.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8 КЛАСС
Количество часов

№

Наименование разделов и
тем

1

Представление данных

4

2

2

Описательная статистика

7

1

3

Случайная изменчивость

5

1

4

Введение в теорию графов

4

5
6
6
7

Вероятность и частота
случайного события
Описательная статистика.
Рассеивание данных
Множества
Обобщение и
систематизация знаний
Общее количество часов по
программе

Всего

Контрольные Практические

Электронные
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

4

1

4

1

4

1

3

3

34

3

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

7

9 КЛАСС
Количество часов

№

Наименование разделов и
тем

1

Вероятность случайного
события

6

1

2

Введение в теорию графов

4

1

3

Случайные события

6

1

4

Геометрическая
вероятность

4

1

5

Испытания Бернулли

6

1

6

Случайная величина

6

2

7

Обобщение и
систематизация знаний
Общее количество часов по
программе

Всего

Контрольные Практические

2

2

34

2

Электронные
образовательные
ресурсы
Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

Библиотека ЦОК
https://m.edsoo.ru/7f415fdc

7

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
8 КЛАСС
№
1

2

3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

24

Тема урока
Представление данных в таблицах.
Практические вычисления по табличным
данным.
Извлечение и интерпретация табличных
данных. Практическая работа
«Таблицы»
Графическое представление данных в
виде круговых, столбчатых диаграмм.
Чтение диаграмм
Примеры демографических диаграмм.
Практическая работа «Диаграммы»
Числовые наборы. Среднее
арифметическое
Числовые наборы. Среднее
арифметическое
Медиана числового набора.
Устойчивость медианы
Медиана числового набора.
Устойчивость медианы
Практическая работа "Средние
значения"
Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах
Наибольшее и наименьшее значения
числового набора. Размах
Контрольная работа по темам
"Представление данных. Описательная
статистика"
Случайная изменчивость (примеры)
Частота значений в массиве данных
Группировка
Гистограммы
Практическая работа "Случайная
изменчивость"
Граф, вершина, ребро. Представление
задачи с помощью графа
Степень (валентность) вершины. Число
рѐбер и суммарная степень вершин.
Цепь и цикл
Цепь и цикл. Путь в графе.
Представление о связности графа
Представление об ориентированных
графах
Случайный опыт и случайное событие
Вероятность и частота события. Роль
маловероятных и практически
достоверных событий в природе и в
обществе
Монета и игральная кость в теории
вероятностей

Всего

Количество часов
Контрольные Практические

1

1

1

1
1

1

1
1
1
1
1

1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1

1

Дата

25
26
27
28
29
30
31
32

33
34

Практическая работа "Частота
выпадения орла"
Контрольная работа по темам
"Случайная изменчивость. Графы.
Вероятность случайного события"
Отклонения
Дисперсия числового набора
Стандартное отклонение числового
набора
Диаграммы рассеивания.
Самостоятельная работа
Множество, подмножество
Операции над множествами:
объединение, пересечение, дополнение
Свойства операций над множествами:
переместительное, сочетательное,
распределительное, включения.
Самостоятельная работа
Графическое представление множеств
Контрольная работа по темам
"Статистика. Множества"
Общее количество часов

1
1

1
1

1
1
1
1

1

1
1

1

1

1
1

1

34

3

7

ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
9 КЛАСС
№
1
2
3
4

5

6
7
8
9
10
11
12
13

Тема урока
Элементарные события. Случайные
события
Благоприятствующие элементарные
события. Вероятности событий
Благоприятствующие элементарные
события. Вероятности событий
Опыты с равновозможными
элементарными событиями. Случайный
выбор
Опыты с равновозможными
элементарными событиями. Случайный
выбор
Практическая работа "Опыты с
равновозможными элементарными
событиями"
Дерево
Свойства дерева: единственность пути,
существование висячей вершины, связь
между числом вершин и числом рѐбер
Правило умножения
Правило умножения. Самостоятельная
работа
Противоположное событие
Диаграмма Эйлера. Объединение и
пересечение событий
Несовместные события. Формула

Всего

Количество часов
Контрольные Практические

1
1
1
1

1

1

1

1
1
1
1
1
1
1

1

Дата

14
15
16

17

18

19

20

21

22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

сложения вероятностей
Правило умножения вероятностей.
Условная вероятность. Независимые
события
Представление случайного
эксперимента в виде дерева
Представление случайного
эксперимента в виде дерева.
Самостоятельная работа
Контрольная работа по темам
"Случайные события. Вероятность.
Графы"
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка, из дуги
окружности
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка, из дуги
окружности
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка, из дуги
окружности
Геометрическая вероятность.
Случайный выбор точки из фигуры на
плоскости, из отрезка, из дуги
окружности. Самостоятельная работа
Испытание. Успех и неудача. Серия
испытаний до первого успеха
Испытание. Успех и неудача. Серия
испытаний до первого успеха
Испытание. Успех и неудача. Серия
испытаний до первого успеха
Испытания Бернулли. Вероятности
событий в серии испытаний Бернулли
Испытания Бернулли. Вероятности
событий в серии испытаний Бернулли
Практическая работа "Испытания
Бернулли"
Случайная величина и распределение
вероятностей
Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины
Примеры математического ожидания
как теоретического среднего значения
величины. Самостоятельная работа
Понятие о законе больших чисел
Измерение вероятностей с помощью
частот
Применение закона больших чисел.
Самостоятельная работа
Итоговая контрольная работа
Общее количество часов

1
1
1

1

1

1

1

1

1

1

1

1
1
1
1
1
1

1

1
1
1

1

1
1
1
1
34

1
1
2

7

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧЕНИКА
• Математика. Вероятность и статистика: 7-9-е классы: базовый уровень: учебник: в 2 частях, 7-9
классы/ Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под ред. Ященко И.В., Акционерное общество «Издательство
«Просвещение»
Введите свой вариант

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Методическое пособие к предметной линии учебников по вероятности и статистике И.Р.Высоцкого,
И.В.Ященко, под редакцией И.В.Ященко. Москва. Просвещение, 2023

ЦИФРОВЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕСУРСЫ И РЕСУРСЫ СЕТИ ИНТЕРНЕТ
Библиотека ЦОК https://m.edsoo.ru/7f415fdc